Históricamente, las primeras ideas topológicas
conciernen al concepto de límite y al de completitud de un
espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitagóricos,
ante la aparición de números
reales noracionales. El primer acercamiento concreto al
concepto de límite y también al deintegral aparece
en el método de exhaución de Arquímedes.
La aparición delanálisis matemático en el siglo XVII puso
en evidencia la necesidad de formalizar los conceptos de proximidad y
continuidad, y la incapacidad de la geometría para tratar este tema. Fue
precisamente la fundamentación del cálculo infinitesimal, así como los
intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a
la aparición de la topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.
Se suele fechar el origen de la topología con la
resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg,
en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de
pensar totalmente topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer
invariante de la topología algebraica, pero sería muy
arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la topología. La
situación es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por
Arquímedes.
El término topología fue usado por primera vez por Johann Benedict Listing, en 1836 en una
carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en
su libro Vorstudien zur Topologie ('Estudios
previos a la topología'), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet
introdujo el concepto de espacio métrico en 1906.
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