GEOMETRIA NO EUCLIDIANA

Euclides hizo cinco postulados sobre los cuales basó todos sus teoremas.

·         Se puede trazar una línea recta desde un punto hasta otro cualquiera.

·         Se puede prolongar una línea recta finita continuamente.

·         Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

·         Todos los ángulos rectos son iguales.

·         Si una línea recta cruza otras dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas indefinidamente, se cortan del lado en el que hay ángulos menores que los dos ángulos rectos.

Es claro que el quinto postulado es diferente de los otros cuatro. No satisfacía a Euclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo – de hecho, las primeras 28 proposiciones deLos elementos se demuestran sin emplearlo. Otro comentario que vale la pena hacer en este punto es que Euclides, y muchos otros que le siguieron, supuso que las líneas rectas eran infinitas.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los elementos en el cual comenta sobre intentos de deducir el quinto postulado de los otros cuatro; hace notar en particular queTolomeo había producido una ‘prueba’ falsa. Proclo prosigue dando una prueba falsa propia. Sin embargo sí dio el siguiente postulado, el cual es equivalente al quinto.

El Axioma de Playfair: Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea.

Aunque es conocido desde la época de Proclo, éste se conoce como Axioma de Playfairdespués de que John Playfair escribiera un famos comentario sobre Euclides en 1795 en el cual propone reemplazar el quinto postulado de Euclides por este axioma.

Muchos intentos se hicieron para demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro; muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos periodos de tiempo hasta que se encontraba el error. Invariablemente el error consistía en suponer alguna propiedad ‘obvia’ la cual resultaba ser el quinto postulado. Una de estas ‘pruebas’ fue dada por Wallis en 1663 cuando pensó que había deducido el quinto postulado pero en realidad había demostrado que era su equivalente:

Para cada triángulo existe un triángulo similar de magnitud arbitraria

Una de las pruebas intentadas resultó ser más importante que la mayoría de las otras. Fue la producida en 1697 por Girolamo Saccheri. La importancia del trabajo de Saccheri fue que suponía que el quinto postulado era falso y trataba de llegar de allí a alguna contradicción.

#1#En esta figura Saccheri demostró que los ángulos superiores en D y C eran iguales. La prueba usa propiedades de los triángulos congruentes que Euclides demostró en las Proposiciones 4 y 8, las cuales son demostradas antes de que se use el quinto postulado. Saccheri ha demostrado:

·         Los ángulos superiores son > 90° (hipótesis del ángulo obtuso).

·         Los ángulos superiores son < 90° (hipótesis del ángulo agudo).

·         Los ángulos superiores son = 90° (hipótesis del ángulo recto).

El quinto postulado de Euclides es c). Saccheri demostró que la hipótesis del ángulo obtuso implicaba al quinto postulado, obteniendo así una contradicción. Saccheri entonces estudió la hipótesis del ángulo agudo y derivó muchos teoremas de la geometría no-euclidiana sin darse cuenta de lo que hacía. Sin embargo, finalmente ‘probó’ que la hipótesis del ángulo agudo llevaba a una contradicción al suponer que hay un ‘punto al infinito’ el cual está sobre el plano.

En 1766 Lambert siguió una línea similar a la de Saccheri. No obstante, no cayó en la trampa en la que cayó Saccheri e investigó la hipótesis del ángulo agudo sin obtener una contradicción. Lambert notó que, en esta nueva geometría, la suma de los ángulos de un triángulo se incrementaba cuando el área del triángulo disminuía.

Legendre pasó cuarenta años de su vida trabajando en el postulado de las paralelas y esta obra aparece en el apéndice de varias ediciones de su muy exitoso libro de geometríaEléments de Géométrie. Legendre demostró que el quinto postulado de Euclides es equivalente a:

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.

Legendre mostró, al igual que Saccheri cien años antes, que la suma de los ángulos de un triángulo no puede ser mayor que dos ángulos rectos. Esto, nuevamente como Saccheri, se basaba en el hecho de que las líneas rectas eran infinitas. Al tratar de demostrar que la suma de los ángulos no puede ser menor a 180° Legendre supuso que a través de cualquier punto en el interior de un ángulo es siempre posible dibujar una línea que toca ambos lados del ángulo. Esto resulta ser otra forma equivalente del quinto postulado, pero Legendre nunca se dio cuenta de su error.

La geometría elemental estaba en ese entonces envuelta en los problemas del postulado de las paralelas. d’Alembert, en 1767, la llamó el escándalo de la geometría elemental.

La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Par 1813 había progresado poco y escribió:

En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas…

Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad de pensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia.

Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema.

En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que he descubierto cosas tan maravillosas que estoy asombrado … de la nada he creado un extraño nuevo mundo. Sin embargo le llevó a Bolyai otros dos años escribirlo todo y publicó su extraño nuevo mundo como un apéndice de 24 páginas en el libro de su padre, aunque solamente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fue publicado antes que el libro mismo.

Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estas palabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supuso que la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, el verdadero avance fue la creencia de que la nueva geometría era posible. Gauss, a pesar de lo impresionado por Bolyai que sonaba en la cita anterior, más bien lo devastó al decirle que él mismo (Gauss) había descubierto todo esto anteriormente pero no lo había publicado. Aunque esto debe sin duda ser cierto, no le quita nada al increíble avance de Bolyai.

Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.

De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra. Publicó Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.

En el folleto de Lobachevsky de 1840 se explica claramente cómo funciona su geometría no-euclidiana.

Todas las rectas que en un plano salen de un punto pueden con respecto a una recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases -en las que cortan y las que no cortan. Las líneas frontera de cada clase de rectas se llamarán palalelas a la recta dada.

Desde aquí Lobachevsky ha reemplazado el quinto postulado de Euclides por:

Postulado de las paralelas de Lobachevsky. Existen dos líneas paralelas a otra dada y que pasan por un punto dado que no está en la línea dada.

Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricas para triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidades trigonométricas habituales.

Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas. Riemann brevemente discutió una geometría ‘esférica’ en la cual cada línea que pasa por un punto P que no está en una línea AB toca a la línea AB. En esta geometría las rectas paralelas son imposibles.

Es importante darnos cuenta de que ni la descripción de Bolyai ni la de Lobachevsky de su nueva geometría habían sido probadas como consistentes. De hecho, no era diferente de la geometría euclidiana en este aspecto aunque los muchos siglos de trabajo con la euclidiana eran suficientes para convencer a los matemáticos de que jamás aparecería una contradicción dentro de ella.

La primera persona que puso a la geometría no-euclidiana de Bolyai – Lobachevsky en la misma base que la geometría euclidiana fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo Ensayo sobre la interpretación de la geometría no-euclidiana que presentaba un modelo para una geometría no-euclidiana bidimensional dentro de la geometría euclidiana tridimensional. Este modelo se obtuvo en la superficie de revolución de una tractriz alrededor de su asíntota. A esto se le llama a veces una seudo-esfera.

Puedes ver la gráfica de una tractriz y cómo se ve la mitad superior de una pseudo-esfera.

De hecho, el modelo de Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba una decisión final sobre el quinto postulado de Euclides ya que el modelo proporcionaba una base sobre la cual se sustentaban los primeros cuatro postulados de Euclides pero no así el quinto. Reducía el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría no-euclidiana al de la consistencia de los axiomas de la geometría euclidiana.

El trabajo de Beltrami sobre un modelo de la geometría no-euclidiana de Bolyai-Lobachevsky fue completado por Klein en 1871. Klein fue más allá de esto y dio modelos de otras geometrías no-euclidianas tales como la geometría esférica de Riemann. El trabajo de Klein se basaba en la noción de distancia definida por Cayley en 1859 cuando propuso una definición generalizada de distancia.

Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.