GEOMETRIA ANALITICA

En el Libro I, Fermat trata sobre los lugares geométricos que solamente comprenden rectas y círculos. Se trata de las transformaciones del plano en el plano (traslaciones, rotaciones, reflexiones). En el Libro II, Fermat estudia los lugares geométricos de los puntos para los cuales la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante; o para los cuales la razón de las distancias a los dos puntos fijos es constante, etc.
comenta uno de los pasajes de estos trabajos de Fermat, que retoma varias veces de 1629 hasta 1636 “La question la plus difficile et la plus belle” (p F ) descubierta en ese periodo. Es “question” ép L : Sea un número cualquiera de rectas dadas como referencia, a las cuales se trazan rectas desde un punto dado formando ángulos dados. Si el producto de una de las rectas trazadas y una de las dadas, con el producto de la recta dada con otra trazada, etc.,…, es igual al producto de de una dada y la última de las trazadas, el punto estará en una de las rectas dadas como referencia. Fermat establece la demostración para tres rectas dadas. Su demostración es sintética (geométrica) y es difícil de seguir, dice Itard, y no podría ser un método de descubrimiento. Su interés es histórico y está en el hecho de que prueba que al momento en que Fermat la redactó no disponía de su geometría analítica. Es un momento anterior al 26 de abril de 1636, precisa Itard. D p é í í F “Si este
Profundicemos algo más en este, tratando de valorar los resultados con pers-
pectiva de futuro, es decir, en cuanto fueron fundamento y señalaron métodos en una teo-
ría que en el siglo siguiente fue llamada por Gauss *1a reina de las Matemáticas".
La aplicación de las técnicas del nuevo Cálculo Infinitesimal a la resolución de proble-
mas de la Teoría de Números, es un objetivo que se propuso Euler, convencido de las posi-
bilidades ilimitadas de los nuevos métodos. Se trata, en efecto, de un propósito aparente-
mente contradictorio, por cuanto los métodos Infinitesimales no parecen los adecuados pa-
ra llegar a soluciones enteras ajenas al sentido de la aproximación. Seguramente la introducción de los métodos analíticos en la Teoría de Números, es el aspecto más original y característico de la obra de Euler en esta rama de la Matemática. Notable es también su obra original cuando usa los métodos aritmética-algébricos, de la que daremos noticia posteriormente, pero su contribución genial es el empleo de algoritmos indefinidos para resolver problemas de divisibilidad, representación de números como suma de cuadrados, etc. Euler es el precursor de una nueva Teoría de Números, que cuando Dirichiet, entre 1837 y 1839, publica su célebre memoria ''Recherches sur diverses applications de l'Analyse infinitésimales a la théorie des nombres", muestra su real potencia y su necesidad para la resolución de los problemas más difíciles.
Hasta su estancia en Berlín no se interesa Lagrange por las cuestiones de Teoría de
Números. Es entonces, al leer cuidadosamente los trabajos de Euler, su antecesor en la Academia de Ciencias, cuando despiertan su atención.

Entre los años 1766 y 1777 se ocupa de estos temas, pero lo sorprendente es que un
fino analista como Lagrange, no se incline por los métodos funcionales eulerianos, sino
por los aritmético-algébricos, en los que se enmarca la obra fermatiana. Ciertamente que el
éxito acompaña a Lagrange, pues por una parte convierte en teoremas muchas de las conjeturas de Fermât, y por otra en su memoria "Recherches d'Arithmétique" establece los
fundamentos de una teoría de las formas cuadráticas binarias, que se presenta como la
primera investigación sistemática de un capítulo de la Teoría de Números. Se trata, pues,
de un paso de gran trascendencia y significado en el futuro desarrollo de esta rama de la
Matemática. En cierto aspecto se puede considerar a Lagrange como continuador de la
obra de Fermât, en el estilo racional del pensamiento francés.
Entre los múltiples intereses matemáticos del joven Legendre, en la época en que ga-
nó el premio de la Academia de Berlín por un trabajo sobre Balística, también estaba la
Teoría de Números a la manera clásica. Los problemas de representación de números por
formas cuadráticas enteras, que años antes Lagrange había estudiado en su memoria fundamental, continuaron ocupando la atención de algunos admiradores, entre los que se encontraba Legendre quien también se interesó en esta línea de investigación. Sin embargo el nombre de Legendre está unido a una proposición muy significativa en la Teoría de Números, que es la llamada Ley de reciprocidad cuadrática. La historia de esta ley, presente en la intuición numérica de Euler, encontrada por Legendre, y demostrada la primera vez por Gauss, tiene una apasionante presencia a lo largo de los siglos. En 1798 publica Legendre su tratado 'Théorie des nombres". El primero de esta rama de la Matemática con nombre propio.

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.Geometría demostrativa primitiva
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Pitágoras
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.
Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

Primeros problemas geométricos
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
Apolonio de Perga
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Geometría analítica
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.
Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.
De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único.

Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.


Modernos avances

Carl Fiedrich Gauss
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
János Bolyai
Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

Arthur Cayley
En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
Historia de las Ecuaciones

Desde el siglo XVII aC los matemáticos de Mesopotámia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones.
En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.
Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones.
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría.
En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa las ecuaciones de primer grado. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.
El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos.
Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal, propuesto por un discípulo de Diofanto para explicar datos de la vida de este sabio griego.Transeúnte!, en esta tumba yacen los restos de Diofanto. De la lectura de este texto podrás saber un dato de su vida. Su infancia ocupó la sexta parte de su vida, después transcurrió una doceava parte hasta que su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio. Cinco años más tarde tuvo lugar el nacimiento de su primogénito, que murió al alcanzar la mitad de la edad que su padre llegó a vivir. Tras cuatro años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió. De todo esto, dime cuántos años vivió Diofanto.
En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.
En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

Un poco más de Historia
La forma de escribir y resolver las ecuaciones es bastante moderna, pero el origen de los problemas matemáticos y de las ecuaciones es antiquísimo.
Arqueólogos, historiadores y matemáticos, formando equipos de trabajo, estudiaron a las civilizaciones mas antiguas y descubrieron como era el pensamiento matemático de cada una de ellas.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizo por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Vitte (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado mas de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y responden a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En estos, de una forma retórica, obtendrán una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones mas utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax = b x + ax + bx = 0

Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación será: x + 1 / 7 x = 24
La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8. En las tablas en base sexagesimal hallaban el reciproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8, encontramos 8 x 12/60 = 1 36/60

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasttras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:
“Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su Área es igual al área de un cuadrado dado. "
Esto es:
Es decir, a x = S .
Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.

Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, como resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera silaba de las palabras.