MATEMATICAS EN EL RENACIMIENTO

Aparte de la adopción de los dígitos arábigos y del trabajo de unas pocas personas de talento (como Pappus y Fibonacci), durante los siglos que prosiguieron a Diophantus no se habían producido avances significativos en Matemáticas. En los siglos XV y XVI tuvo lugar un repentino brote de actividad impulsado por el descubrimiento chino de la imprenta, la cual llegó a Europa en 1450 y propulsó a unas Matemáticas (tanto las puras como las aplicadas) que se habían quedado estancadas en los logros de tiempos ancestrales.  Es conveniente recalcar la importancia de la imprenta para la difusión del conocimiento matemático. El copiado a mano de textos matemáticos requería mucho tiempo y esfuerzo. En los tiempos antiguos, de la mayoría de los textos sólo existía una copia única que se encontraba en la biblioteca de Alejandría; ésta es la razón por la cual toda la actividad matemática estuvo concentrada en un solo sitio durante unos ochocientos años. Con la llegada de la imprenta dichos textos pasaron a estar disponibles por todo el mundo civilizado y la gente podía aprender matemáticas en lugares tan distantes como Bohemia o Escocia.

En este episodio y en los dos siguientes se van a presentar los avances que se dieron en esta época en las siguientes áreas: notación matemática, teoría de las ecuaciones, descubrimiento de los logaritmos, y mecánica y astronomía.

La notación matemática

Johannes Regiomontanus (1436-1476), natural de Königsberg (hoy día en Alemania), dio la primera presentación sistemática de la trigonometría tanto plana como esférica usando senos y cosenos. Álgebraicamente escribía 'res' para x y 'census' para el cuadrado. Regiomontanus probablemente muriera a causa de la plaga, pero corrían rumores de que había sido envenenado por los hijos de un académico rival. Cristóbal Colón llevaba en su cuarto viaje un ejemplar del Ephemerides de Regiomontanus; de hecho utilizó su predicción del eclipse lunar del 29 de Febrero de 1504 para intimidar en Jamaica a unos indios hostiles. Por otra parte, Johannes Widman (1462-1500), natural de Eger (hoy día en la República Checa), publicó en 1849 el libro Mercantile Arithmetic, en el cual aparecen por primera vez los modernos símbolos + y -.

El italiano Luca Pacioli (1445-1517) era monje franciscano, y utilizaba los términos 'res' y 'census' de Regiomontanus. En 1509 publicó la Divina Proportione, un libro que ilustró el mismísimo Leonardo da Vinci. Hay un famoso cuadro de Pacioli (actualmente en el Museo de Nápoles) pintado por Jacopo de Barbari en el que se puede ver al monje con su amigo Guidebaldo en presencia de un dodecaedro. Uno de los problemas resuelto por Pacioli fue el siguiente:

El radio del círculo inscrito de un triángulo es 4, y los segmentos en los cuales se divide un lado por el punto de contacto valen 6 y 8. Determinar los otros lados. El inglés Robert Recorde (1510-1558) fue el primero en utilizar el símbolo = para la igualdad, afirmando que 'no puede haber dos cosas más iguales'. Recorde se peleó con el Conde de Pembroke y murió en prisión. Por su parte, el alemán Christoff Rudolff empleó en 1525 el símbolo actual de la raíz cuadrada, mientras que el bávaro Adam Ries (1492-1559) publicó libros aritméticos de los que se hicieron más de cien reediciones y estableció definitivamente la utilización de los signos + y -.

El alemán Michael Stifel (1487-1567) era un monje que se convirtió en uno de los primeros seguidores de Lutero. Utilizaba 1A, 1AA y 1AAA para indicar A, A2 y A3, respectivamente, y fue el primero en utilizar exponentes enteros negativos. Su método para aplicar las matemáticas a la Biblia le llevó a la conclusión de que el Papa León X era el anticristo del Libro de la Revelación y también le permitió profetizar el fin del mundo para el 18 de Octubre de 1533. Los paisanos de la ciudad donde Stifel era predicador se creyeron esta profecía y se lo gastaron todo, y cuando el mundo no se acabó en la fecha prevista Stifel en vez de encontrarse en el cielo se encontraba en una celda de la cárcel de Wittenberg.

El inglés Thomas Harriot escribía a, aa y aaa para indicar a, a2 y a3, respectivamente, e introdujo los signos > y < para las desigualdades estrictas. Se fue a América con Sir Walter Raleigh y se hizo adicto al tabaco. En 1603 Harriot estableció el siguiente método para calcular el área de un triángulo esférico:

Se calcula la suma de los tres ángulos y se le restan 180 grados. Si el resultado se considera el numerador de una fracción con denominador 360 grados, dicha fracción nos indica la porción del hemisferio ocupada por el triángulo.

La teoría de las ecuaciones

Incluso ya desde los antiguos babilonios la gente sabía cómo hallar soluciones reales positivas de cualquier ecuación lineal o cuadrática, y esto lo podían hacer tanto aritmética como geométricamente.Omar Khayyam (1100 D.C.) había desarrollado un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado. En 1225, Leonardo de Pisa dio una solución aritmética para x3+2x2+10x=20; como utilizó razonamientos aritméticos en lugar de geométricos, Leonardo pudo obtener una aproximación a la raíz positiva con una precisión de nueve lugares decimales.

El primero en desarrollar algo así como un método completo para resolver ecuaciones cúbicas (uno que en principio pudiera contemplar raíces negativas e imaginarias además de raíces positivas) parece ser que fue Scipione Ferro (1465-1526), natural de Bolonia (Italia). Podía resolver cualquier ecuación de la forma x3+bx=c, dando las soluciones con la precisión requerida. Ferro mantuvo su método en secreto (con el objetivo de tener ventaja sobre otros matemáticos en los concursos matemáticos) hasta que, justo antes de morir, se lo comunicó a un tal Antonio Fiore.

En 1530 Zuanne da Coi envió los siguientes problemas a Niccolo Tartaglia (1500-1557):

x3 + 3x2 = 5,  x3 + 6x2 + 8x = 1000

Tartaglia mantenía que sabía resolver estas ecuaciones y al poco tiempo Fiore le reto a un concurso. Cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer varios problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero. Tartaglia, suponiendo que Fiore le plantearía ecuaciones de la forma x3 + bx = c, desarrolló rápidamente un método general para resolver dichas ecuaciones; de hecho, los problemas de Fiore fueron de este tipo y Tartaglia los pudo resolver todos. Sin embargo, los que él propuso eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, los cuales ya los sabía resolver y resultaron demasiado difíciles para Fiore.

Tartaglia había nacido en Brescia (Italia); esta ciudad fue tomada por los franceses en 1512 y la mayor parte de sus habitantes fueron masacrados; a Tartaglia le rajó la mandíbula un soldado con la espada y así fue como adquirió su nombre, que quiere decir 'el tartamudo'. Fue profesor en Verona y Venecia, y se hizo famoso por su victoria sobre Fiore; publicó un libro sobre balística en 1537 en el cual postulaba correctamente que todo proyectil tiene alcance máximo cuando se dispara con un ángulo de 45o, pero no dio la demostración de este hecho. También escribió un libro sobre teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo:

Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos) quieren cruzar un río en una barca en la que caben como máximo dos personas. Determinar cómo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a ninguna mujer en compañía de un hombre a menos que su marido esté presente.

Tres personas quieren repartirse el aceite que hay en una garrafa de 24 litros. Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.

La última parte de la vida de Tartaglia estuvo amargada por una pelea con Girolamo Cardano (1501-1576), otro italiano cuya autobiografía ha reeditado la editorial Dover. Cardano era un famoso físico milanés, y tuvo que viajar a Escocia para curar de asma a un arzobispo; aplicó sus conocimientos matemáticos a la mecánica, a la astrología y a los juegos de apuestas (de hecho podría ser considerado el descubridor de la teoría de la probabilidad). El primogénito de Cardano fue ajusticiado por haber envenenado a su esposa, y el propio Cardano fue encarcelado en 1570 acusado de hereje al haber publicado un horóscopo de Jesucristo (se consideraba herejía por deducirse que Dios dependía de las estrellas), pero se le liberó tras retractarse; hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el día de su muerte y que se sintió obligado a suicidarse para que su predicción fuera cierta.

Cardano había intentado convencer a Tartaglia para que le contara su método secreto para resolver ecuaciones cúbicas; Tartaglia accedió con la única condición de que Cardano nunca lo revelara. No obstante, pocos años más tarde Cardano se enteró del trabajo anterior de Ferro y decidió publicar el método secreto en su Ars Magna (1545). Aunque Cardano le dio el debido crédito a Tartaglia en dicho libro, Tartaglia se mosqueó por el hecho de que Cardano hubiera roto su promesa de guardar el secreto, ya que a partir de ese momento Tartaglia no tendría una ventaja sustancial en los concursos matemáticos. Terriblemente enfadado, Tartaglia retó a Cardano a una competición, pero éste último no se presentó aunque fue representado en su lugar por su alumno Ferrari (1522-1565); parece ser queFerrari lo hizo mejor que Tartaglia, el cual perdió tanto su prestigio como su bolsa.

El Ars Magna de Cardano era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la geometría para demostrar la identidad algebraica

(a-b)3 = a3-b3-3ab(a-b)

y todavía rehuía de la utilización de números negativos, lo cual puede apreciarse a la hora de dar por separado las siguientes ecuaciones:

x3 + px = q    ,    x3 = px + q    ,     x3 + px + q = 0    ,    x3 + q = px

Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios.

Ferrari, natural de Bolonia (Italia), amplió el trabajo de Tartaglia y Cardano resolviendo la ecuación general de cuarto grado, y su solución aparece también en el Ars Magna. Ferrari se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo, pero su debilitada salud le hizo retirarse a Bolonia en 1565 para enseñar matemáticas. Según apunta W.W. Rouse Ball en la página 225 de su A Short Account of the History of Mathematics, Ferrari fue asesinado por su hermana o por el novio de su hermana.

Otro natural de Bolonia, Rafael Bombelli (1526-1572), publicó un libro de Álgebra en 1572 en el que sigue paso a paso la evolución del Álgebra desde los tiempos de Diophantus. En él se estudian ampliamente los radicales complejos y demuestra que el caso irreducible de la ecuación cúbica (véase el tercer caso del próximo episodio) conduce a tres raíces reales; en él también se señala que el antiguo problema griego de trisecar un ángulo era equivalente a la resolución de una ecuación cúbica, y para xn se emplea una pequeña curva convexa con una n dentro.

 Francois Viète (1540-1603), también conocido como Vieta, era abogado francés y miembro del parlamento, pero su verdadera vocación eran las matemáticas. En 1591 escribió In artem analyticem isagoge en el cual se aplicaba el álgebra a la geometría (hasta ese momento la gente había aplicado la geometría al álgebra). Fue retado por el rey Enrique IV a resolver una ecuación especial de grado 45, cuya solución pudo dar en pocos minutos tras percatarse que la cuerda de un ángulo de 360o/45 satisfacía la ecuación. Además fue él quien, usando únicamente geometría euclídea, construyó los círculos tangentes a tres círculos dados, recuperando así una antigua construcción que probablemente aparecía en un libro perdido de Apollonius. Viète descifró un código español para los franceses, y sus soluciones de las ecuaciones cuadráticas y cúbicas son tal y como hoy día las conocemos.

Terminaremos este episodio con una cuestión sobre astrología. ¿Por qué muchos matemáticos, como Ptolomeo, Cardano y posteriormente Kepler, malgastaron su tiempo y su talento en astrología cuando una breve reflexión revela que parece poco probable que haya algo de cierto en ella? La astrología se basa en la suposición no demostrada y poco factible de que exista correlación entre la posición de las constelaciones de estrellas en el instante del nacimiento de una persona y su carácter y la historia de su vida posterior. ¿Adoptaron Ptolomeo y los demás la práctica de la astrología como ayuda económica suplementaria o ellos realmente creían en ella como lo hacen todavía hoy día gran parte de la población? Por poner un ejemplo, Kepler tenía un punto de vista bastante cínico de la astrología, como veremos en próximos episodios.