Una breve e incompleta historia de las matemáticas
antiguas en India
La civilización india es milenaria, con una historia
plagada de invasiones que fueron nutriendo lo que hoy en día es una cultura
diversa, o quizás, mejor dicho, una mezcla de diversas culturas. Las matemáticas,
compañeras inseparables de cualquier civilización, tienen por tanto también una
larga tradición en este país. Esta entrada no pretende ser una historia de las
matemáticas en la India, ni tan siquiera un resumen. El objetivo es dar algunas
pinceladas que pongan en contexto y que expliquen de alguna manera cuál es la
situación de la disciplina en este país hoy en día además de poner en valor
algunas de sus extraordinarias contribuciones a las matemáticas.
Período védico y la tradición oral
El más explícito enunciado de lo que llamamos actualmente
Teorema de Pitágoras se remonta en la matemática india al Baudhayana
Sulvasutra, unos 800 años antes de nuestra
era.
La diagonal de un rectángulo da lugar a un área que es
equivalente a las dos áreas producidas separadamente por los dos lados (es
decir, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los
dos lados).
(Verso 48, Capítulo
1)
No debe olvidarse sin embargo que este resultado ya era
conocido por los antiguos babilonios (1850 AC) y que, aparentemente, el
significado de los triples pitagóricos (números que satisfacen el teorema)
quizás era mejor entendido por estos que por los matemáticos indios.
Los textos religiosos de los Vedas evidencia el uso de
números grandes (millones y billones), allá por los años 1200-7900 AC. También
el Satapatha Brahmana (siglo VII AC) contenía reglas para construcciones
geométricas que también se encuentran en los Sulvasutras. Los Sulvasutras están
escritos en sánscrito, entre los años 700 AC y 400 AC, y contenían listas de
reglas para la construcción de altares para sacrificios.
Estas obras consisten en secciones de sutras que
contienen conjuntos de reglas o problemas, muy sucintas y escritas en verso,
con el fin de que los estudiantes las pudiesen memorizar con mayor facilidad. A
estos versos les siguen comentarios en prosa (a veces por varios especialistas)
que explican el problema con mayor detalle y dan una justificación para la
solución encontrada. Estos trabajos se fueron transmitiendo en forma oral hasta
el 500 AC (es notable esta insistencia en la recitación de los manuscritos que
condujo al desarrollo de una consolidada tradición), y después comenzaron a
escribirse. El manuscrito más antiguo conocido se encontró en 1881 en
Bakhshali, cerca de la ciudad de Peshawar (hoy en Paquistán); el manuscrito se
conserva en la Bodleian Library de la Universidad de Oxford.
Los temas incluidos en este manuscrito son aritmética
(fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula
falsi) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones
aritméticas. También contiene problemas geométricos.
Un problema típico incluido en el manuscrito es el
siguiente:
Un mercader tiene 7 caballos, un segundo mercader tiene 9
de otra clase, y un tercero tiene 10 camellos. Si cada uno cede dos de sus
animales a los otros dos mercaderes, todos tendrán el mismo valor en conjunto.
Encontrar el precio de cada animal y el valor total de los animales que poseerá
cada mercader.
El Período Clásico (400 – 1200)
Este período es conocido como la edad de oro de las
matemáticas indias, con resultados brillantes en muchas áreas de las
matemáticas por matemáticos como Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara
I, Mahavira, y Bhaskara II. Estas contribuciones se expandieron por Asia,
Oriente Medio y finalmente llegaron a Europa. Estos trabajos combinaban
matemáticas y astronomía, incluyendo a las primeras como una de las ciencias
astrales (las otras dos eran la astrología y la adivinación).
Una de las mayores contribuciones de las matemáticas
indias a la civilización es la invención del cero y el sistema decimal basado
en la posición. Estos avances en el sistema numérico posicional y el invento
del cero fueron transmitidos desde la India por los matemáticos árabes, quiénes
asimilaron los métodos hindúes y lo pasaron después a Europa, especialmente a
través de España. Así, Al Biruni, en el siglo X agradece a los matemáticos
hindúes or sus logros, aunque es muy crítico sobre otros aspectos de esa
civilización.
El sistema Kharoshi, usado ya desde el 400 AC hasta el
año 100 de nuestra era representaba los números del 1 al 8 como
I II III X IX IIX IIIX XX
En el año 300 aparece el sistema Brahmi, que es un
precursor del sistema moderno, denominado Gupta y que se transfomó en Nagari.
El sistema posicional se supone que se usa desde el año 400.
Es más díficil datar
la aparición del cero como un símbolo (aunque ya se uasaba conceptualmente), y
se toma como fecha el año 876 el primer uso indiscutido del cero, en una
tablilla en Gwailior.
La Escuela de Kerala de Matemáticas y Astronomía
Es destacable la llamada Escuela de Kerala, en el
sudoeste de la India, donde florecieron las matemáticas durante casi dos
siglos, comenzando en el siglo XIV de nuestra era.
La Escuela de Kerala fue fundada por Madhava de
Sangamagrama, y entre sus miembros aparecen: Parameshvara, Neelakanta Somayaji,
Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta
Panikkar. La escuela floreció entre los siglos XIV y XVI. Intentando resolver
problemas astronómicos, fueron desarrollando importantes conceptos matemáticos.
Los teoremas se enunciaban sin pruebas, aunque un siglo más tarde, en el
trabajo de Jyesthadeva, se dieron demostraciones rigurosas para las expansiones
en series de senos, cosenos y tangente inversa.
Estos descubrimientos se anticiparon varios siglos al
cálculo desarrollado en Europa por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin
embargo, aunque dieron estas expansiones de Taylor, no desarrollaron una teoría
comprenhesiva de las nociones de diferenciación e integración.
Análisis de la aportación de la matemática india al
desarrollo europeo
Se ha sugerido a veces que las contribuciones indias a
las matemáticas no han sido adecuadamente reconocidas en la historia moderna de
la disciplina, y e incluso, que algunos de estos descubrimientos fueron
plagiados por los matemáticos europeos.
Es evidente que la matemática moderna ha magnificado el
legado griego en lo que respecta a estas contribuciones indias y chinas;
probablemente en las próximas décadas se les de el adecuadao reconocimiento,
aunque no debe ignorarse la deuda que se debe a los matemáticos griegas.
También se ha debatido sobre la posible influencia en el
nacimiento del cálculo en Europa que podía haberse producido a través de los
misioneros jesuitas, pero no hay ninguna evidencia histórica de tales
transmisiones, y, como hemos comentado, la escuela de Kerala no llegó nunca a
las profundidades de Newton y Leibnz.
Si debemos agradecer a los matemáticos indios la creación
del cero, o sus descubrimientos en el álgebra, transmitidos a Europa por los
árabes. En cualquier caso, la celebración de los ICM en China en 2002 y en
India en 2010 están reconociendo el renacer matemático de estos países y su
peso importante en la matemática contemporánea. Sin duda, servirán también para
que este pasado sea puesto en valor en la historia de la disciplina
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