FUNDAMENTOS DELCALCULO

Fundamentos del Calculo El lımite de una funcion real de variable real y = f(x) en un punto x0 de su dominio es el concepto fundamental del calculo. Es esta una nocion asociada al comportamiento de los valores de la funcion en los puntos vecinos del punto x0, que permite definir la idea de continuidad y los conceptos fundamentales de derivada e integral de una funcion. La definicion de lımite es reconocida como una de las maximas expresiones del discurso matematico moderno y su manejo es imprescindible para una clara comprension del calculo y sus aplicaciones. En este capıtulo se presenta y se estudia la nocion de lımite a partir del concepto de convergencia de sucesiones, definiendose luego las funciones continuas como aquellas que preservan precisamente la convergencia de sucesiones.

La diferencia entre los conceptos y metodos del calculo y los que usualmente se manejan en el algebra y la geometrıa, radica en que los primeros se definen en terminos de propiedades o procesos con conjuntos infinitos. Este capıtulo incluye las demostraciones de los resultados basicos del analisis matematico y se presentan ası para ir introduciendo al estudiante en el manejo de las tecnicas de argumentacion y prueba propias de esta area de las matematicas. 4.1 Sucesiones reales Una sucesion real es un conjunto de numeros reales ordenado mediante el conjunto de los numeros naturales. En otras palabras, una sucesion es un conjunto de numeros reales etiquetados con numeros naturales, de tal manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden que ocupa cada elemento en la sucesion. La etiqueta, al ser un n´umero natural, nos señala cual es el primer elemento de la sucesion, cual el segundo, cual el tercero, etc. 

Para definir una sucesion real, se necesita especificar los numeros que la integran y el lugar que ocupan segun el orden de sus etiquetas. 62 Fundamentos del Calculo Ejemplo 4.1 La sucesion con primer elemento el numero 1, con segundo elemento el numero 1/2, con tercer elemento el numero 1/3, y as´ı, en general con i-esimo elemento el numero 1/i, para los valores i = 1, 2, . . . , se puede representar escribiendo  1 primero, 1 2 segundo , 1 3  tercero , . . . ,  1  i−esimo , · · · Los puntos sucesivos al final significan que la sucesion se extiende de acuerdo al orden creciente de las etiquetas. ⊳ Una manera usual de describir una sucesion real consiste en dar la regla, o formula, que nos permita conocer, para cada valor i = 1, 2, . . . , de la etiqueta, el numero que lleva dicha etiqueta. Esto se hace denotando por si el n´umero que ocupa el i-esimo lugar, para cada uno de los lugares i = 1, 2, . . . y mostrando como se calcula el valor de si en terminos del valor i de su etiqueta. Por ejemplo, la sucesion si = 1 i para i = 1, 2, . . . representa, en forma compacta, la sucesi´on del ejemplo. De esa manera quedan determinados todos los elementos de la sucesion y podemos saber directamente cual es el n´umero que ocupa cada lugar. Por ejemplo, el elemento que ocupa el lugar 130 es el numero 1/130. Note que siendo el numero de etiquetas infinito, cada sucesion consta de un numero infinito de numeros que pueden en principio repetirse o ser el mismo numero para varios lugares. En general, para denotar una sucesion escribiremos entre llaves el numero que ocupa el i-esimo lugar y fuera de las llaves, como subındice, escribiremos i = 1 y como supra´ındice el sımbolo  para significar que la etiqueta toma valores sobre todos los numeros naturales. 

Ejemplo: La sucesion si = (−1)i para i = 1, 2, . . . es una sucesi´on cuyos elementos solo toman dos valores. 2. El sımbolo  i i 2 − 8 ∞ i=1 representa la sucesion real  −1 7 , −1 2 , 3, 1 2 , · · · , i i 2 − 8 , · · ·  . 3. En la sucesion real n (−1)i √ i 2 + 1o∞ i=1 el numero √ 101 ocupa el decimo lugar. ⊳ 4.1 Sucesiones reales 63 Asociado al concepto de sucesion, se tiene de manera natural el concepto de subsucesion de una sucesion, entendida como una nueva sucesion cuyos elementos forman un subconjunto de la primera y su orden como elementos de la subsucesion preserva el orden que esos mismos elementos tenıan en la sucesion inicial. Es decir, si en la subsucesion un elemento es posterior a otro, como elementos de la sucesion inicial tambien el primer elemento era posterior al segundo. Esto lo escribiremos de manera precisa con la definicion siguiente. Definici´on 4.1 1. La sucesion de etiquetas {mi} ∞ i=1 es creciente si siempre que j > k se tiene mj > mk para j, k numeros naturales. 2. Una sucesi´on {si} ∞ i=1 se dice subsucesion de una sucesion {ai} ∞ i=1 , si existe una sucesion creciente de etiquetas {mi} ∞ i=1 tal que si = ami para i = 1, 2, . . . Ejemplo 4.3 1. La sucesion √ 2i + 3 ∞ i=1 cuyos elementos son √ 5, √ 7, √ 9, √ 11, · · · , √ 2i + 3, . . . es una subsucesion de la sucesi´on √ i ∞ i=1 cuyos elementos son √ 1, √ 2, √ 3, . . . En este caso, la sucesi´on creciente de etiquetas que dan lugar a la subsucesi´on es {2i + 3} ∞ i=1 , de tal manera que el elemento de la subsucesi´on con etiqueta i es el elemento de la sucesi´on que tiene etiqueta 2i + 3 para i = 1, 2, . . . 2. La sucesi´on {ci} ∞ i=1 = {6i + 1} ∞ i=1 es subsucesi´on de {ai} ∞ i=1 = {2i + 1} ∞ i=1 , donde la relaci´on entre las etiquetas es ci = a3i para cada i = 1, 2, . . . ⊳ Dadas dos sucesiones de n´umeros reales {ai} ∞ i=1 y {bi} ∞ i=1 , podemos sumar o multiplicar t´ermino a t´ermino estas sucesiones para formar nuevas sucesiones reales. As´ı, a la sucesi´on {si} ∞ i=1 cuyo i-´esimo t´ermino se forma sumando el i-´esimo t´ermino de la sucesi´on {ai} ∞ i=1 con el i-´esimo t´ermino de la sucesi´on {bi} ∞ i=1 , si = ai + bi para i = 1, 2, . . . se le llama sucesi´on suma de las dos sucesiones iniciales y se denota {si} ∞ i=1 = {ai} ∞ i=1 + {bi} ∞ i=1 = {ai + bi} ∞ i=1 . An´alogamente, a la sucesi´on {pi} ∞ i=1 cuyo i-´esimo t´ermino se forma multiplicando el i-´esimo t´ermino de la sucesi´on {ai} ∞ i=1 con el i-´esimo t´ermino de la sucesi´on {bi} ∞ i=1 , pi = aibi para i = 1, 2, · · · se le llama sucesi´on producto de las sucesiones iniciales y se denota {pi} ∞ i=1 = {ai} ∞ i=1 · {bi} ∞ i=1 = {aibi} ∞ i=1 . 64 

Fundamentos del C´alculo Las operaciones de suma y producto de sucesiones, heredan las propiedades de campo de las operaciones de los n´umeros reales, como son la conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de neutro aditivo y multiplicativo, existencia de inverso aditivo y cuando la sucesi´on est´a formada de n´umeros distintos de cero, la existencia de inverso multiplicativo. 4.2 Convergencia de sucesiones Se denota con (L − r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el n´umero real L y radio r > 0, al conjunto (L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r} . Se dice que una sucesi´on {si} ∞ i=1 de n´umeros reales es convergente a un n´umero real L si los elementos de la sucesi´on se aproximan al n´umero L “tanto como se quiera” a medida que crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos. En t´erminos precisos, lo anterior se enuncia de la siguiente manera: Definici´on 4.2 La sucesi´on de n´umeros reales {si} ∞ i=1 converge al n´umero L si para cada intervalo I con centro L existe una etiqueta NI tal que todos los elementos de la sucesi´on cuya etiqueta es posterior a NI pertenecen a dicho intervalo. Cuando el enunciado anterior es verdadero, escribimos simb´olicamente {si} ∞ i=1 → L o lim i→∞ si = L. Al n´umero L se le llama l´ımite de la sucesi´on {si} ∞ i=1 . Dado que un intervalo con centro L queda determinado por su radio r, la definici´on 4.2 se puede parafrasear como sigue: “{si} ∞ i=1 converge a L si para cada r > 0, existe un n´umero natural Nr tal que si i > Nr entonces |si − L| < r.” Nota Importante: Para fijar mejor la definici´on anterior, considere las observaciones siguientes. 1. La definici´on de sucesi´on convergente no dice c´omo encontrar el l´ımite de una sucesi´on, sino s´olo qu´e propiedad define al l´ımite de una sucesi´on. En ese sentido, la definici´on s´olo dice qu´e debemos hacer para comprobar que un cierto n´umero es efectivamente el l´ımite de la sucesi´on. 

Convergencia de sucesiones 65 2. La aproximaci´on y acumulaci´on de los elementos de la sucesi´on al l´ımite L se expresa mediante la pertenencia a intervalos abiertos centrados en L y cada intervalo queda definido cuando se da el valor de su radio. 3. Para comprobar que un n´umero L es el l´ımite de una sucesi´on, la definici´on nos exige que para cada intervalo I centrado en L encontremos una etiqueta NI a partir de la cual todos los elementos de la sucesi´on con etiqueta mayor pertenezcan a ese intervalo. Esa etiqueta, cuya existencia hay que mostrar, no es la ´unica con esa propiedad ya que cualquier otra mayor que ella tambi´en tendr´a esa propiedad. 4. El valor de la etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesi´on pertenecen a un intervalo dado, depende del tama˜no o radio de ese intervalo y mientras m´as peque˜no sea ese radio, en general m´as grande tendr´a que ser la etiqueta. 5. La convergencia de una sucesi´on a un n´umero L no se altera si se modifica el valor o el orden de cualquier n´umero finito de elementos de la sucesion. 

Esto es as´ı porque la convergencia de una sucesi´on es una propiedad que s´olo tiene que ver con el comportamiento de sus elementos a la larga, es decir cuando su orden crece indefinidamente y no depende de lo que suceda con sus primeros elementos. La siguiente observaci´on, que enunciamos en forma de lema, nos ser´a de gran utilidad en lo que sigue. Lema 4.1 Si una sucesi´on {si} ∞ i=1 converge a L, entonces {si − L} ∞ i=1 es una sucesi´on convergente a cero y, rec´ıprocamente, si la sucesi´on {si − L} ∞ i=1 converge a cero, entonces la sucesi´on {si} ∞ i=1 converge a L. Nota Importante: 1. Toda sucesi´on constante es convergente: {si} ∞ i=1 = {a} ∞ i=1 converge a a. 2. Toda subsucesi´on de una sucesi´on convergente a L es convergente a L.