TEORIA DE NUMEROS

Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde mediados del I milenio a. C. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba-sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos V y III a. C. El religioso Baudhaiana (en el siglo IV a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (en el siglo III a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.

Los matemáticos yainas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).

La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría (enEgipto) a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.

Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas,⁴ecuaciones en las que falta información suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuaciónx + y = 5 es un ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a través de una solución que no lo es.

Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Ariabhata (476-550) dio la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal ay + bx = c, la cual aparece en su texto Ariabhatíia. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Ariabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.

Brahmagupta (598-668) trabajó las ecuaciones diofantinas más difíciles, que aparece en su libro 18 dedicado al álgebra yecuaciones indeterminadas. Utilizó el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que 61x² + 1 = y². Su Brahma-sphuta-siddhanta fue traducido al árabe en773 y al latín en 1126. La ecuación 61x² + 1 = y² fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde porLeonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas ypolinómicas de mayores grados. Naraian Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.