Introducción
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas
intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática
ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se
colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas
que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el
bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los
años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna
persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que
seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado
actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo
cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por
más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos
"infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para
tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el
Cálculo que utilizamos en nuestros días.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la
matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las
diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las
ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo
pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes.
Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus
antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión
necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo
posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de
hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los
alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres
lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme,
Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado
por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón,
Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e
histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas
decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por
Descartes y Fermat.
Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más,
el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue
parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo
XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción
matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso
una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza
que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta
ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las
importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el
Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están
en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que,
esencialmente, somos parte.
El extraordinario avance registrado por la matemática, la
física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al
Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la
creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.
El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar
cuatro problemas científicos y matemáticos:
Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y
el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en
cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo
en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se
especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la
distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes
más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del
filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático
inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en
forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton
están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a
las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz
conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la
derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no
habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama
diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de
x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó
fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta
difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite
y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco
rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en
algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de
Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se
comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter
perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista
y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los
fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo,
potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos
del razonamiento humano.
Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica
desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa
se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a
ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones
de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una
rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los
dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la
posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos
descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y
1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.
La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio
sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y
permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron
sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y
rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo
XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación
final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas
concretos.
El siglo XVIII
Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y
Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos
nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el
cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva.
Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la
mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y
la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo
Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico
Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler,
quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las
matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y
álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados
en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver
problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para
acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas
del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la
de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente
algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos
sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría
griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático
les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy
complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios
sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos
procedimientos.
El siglo XIX
Un problema importante fue definir el significado de la
palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron
soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición
en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un
enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa
de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de
la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy
estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind
quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos
alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo
tiempo.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre
dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo
importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes
matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número
complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis,
desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán
Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de
expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los
conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor
fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu
crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto
de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya
no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino
de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo
de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se
pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de
sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente
transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole
en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).
Siglo XX y nuestros días
Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la
integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones
realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo
lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de
forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés
problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación
matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo
de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o
computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la
matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó
nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se
convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de
números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el
ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no
se habían podido resolver anteriormente.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando
más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido
para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los
problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo
tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más
abstractas encuentra aplicación.
Conclusiones
El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de
una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos
elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las
concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en
especial las concepciones sobre las características que debe reunir el
conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico,
determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los
personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede
ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.
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