Las
ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el
estudio de
problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus
comienzos
han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas
cuestiones y
a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen
histórico es
inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e
ingeniería,
ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la
determinación
de una función que debe satisfacer una ecuación en la que
aparece su
derivada.
En la
historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco
etapas
Quizá se podría situar la primera
idea sobre ecuación diferencial hacia
finales del siglo XVI y principios
del siglo XVII en los trabajos realizados por
John Napier (1 550 – 1 617) cuando
inventó los logaritmos. Vistas las tablas
confeccionadas por él, si se
utilizara el simbolismo moderno del cálculo
infinitesimal, se podrían considerar
como la resolución numérica de una
ecuación diferencial.
, donde cada una de ellas marca un
avance definitivo. La primera etapa
iría desde los inicios hasta 1 820
cuando Cauchy publica su teorema de
existencia, que da inicio a la
segunda etapa que marca la edad del rigor. La
tercera comienza en 1 870 con M. S.
Lie (1 842 – 1 899) y la aplicación de la
teoría de grupos continuos a las
ecuaciones diferenciales, particularmente
aquellos de la dinámica de
Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1 880 con
el trabajo de E. Picard (1 856 – 1
941) y su teorema de existencia. La
construcción de las ecuaciones
diferenciales es análoga a la teoría de las
ecuaciones algebraicas de Galois. La
última etapa comienza en 1 930 donde el
análisis se hace más general. Ya E.
H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con
un número infinito numerable de
variables; ahora se estudiarán ecuaciones
diferenciales de dimensión infinita,
y comienza el cálculo de variaciones y el
análisis funcional.
Quizá se podría situar la primera idea
sobre ecuación diferencial hacia
finales del siglo XVI y principios
del siglo XVII en los trabajos realizados por
John Napier (1 550 – 1 617) cuando
inventó los logaritmos. Vistas las tablas
confeccionadas por él, si se
utilizara el simbolismo moderno del cálculo
infinitesimal, se podrían considerar
como la resolución numérica de una
ecuación diferencial.
, donde cada una de ellas marca un
avance definitivo. La primera etapa
iría desde los inicios hasta 1 820
cuando Cauchy publica su teorema de
existencia, que da inicio a la
segunda etapa que marca la edad del rigor. La
tercera comienza en 1 870 con M. S.
Lie (1 842 – 1 899) y la aplicación de la
teoría de grupos continuos a las
ecuaciones diferenciales, particularmente
aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi.
La cuarta comienza en 1 880 con
el trabajo de E. Picard (1 856 – 1
941) y su teorema de existencia. La
construcción de las ecuaciones
diferenciales es análoga a la teoría de las
ecuaciones algebraicas de Galois. La
última etapa comienza en 1 930 donde el
análisis se hace más general. Ya E.
H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con
un número infinito numerable de
variables; ahora se estudiarán ecuaciones
diferenciales de dimensión infinita,
y comienza el cálculo de variaciones y el
análisis funcional.
Lo infinitamente pequeño tenía para
Galileo Galilei (1 564 – 1 642) una
importancia más inmediata que lo
infinitamente grande, puesto que lo
necesitaba en su dinámica. Galileo
analizó el comportamiento del movimiento
de un proyectil con una componente
horizontal y uniforme, y una componente
vertical uniformemente acelerada,
consiguiendo demostrar que la trayectoria
del proyectil, despreciando la
resistencia del aire, es siempre una parábola.
Estudió el problema del espacio
recorrido por un cuerpo en caída libre y se
puede considerar que utilizó para su
resolución ecuaciones diferenciales. De
Pierre Fermat (1601-1665) dice
Laplace que es el verdadero inventor del
cálculo diferencial.
Las ecuaciones diferenciales
aparecen simultáneamente al cálculo
infinitesimal. Por ejemplo en 1 638
apareció el problema de la tractriz,
propuesto por René Descartes (1 596
– 1 650) a Fermat, que realmente es un
problema de tangentes a una curva,
(no pudo resolverlo pues no conocía el
cálculo), y fue resuelto en 1 674
por Leibniz y en 1 690 por Jakob Bernoulli,
cuando ya se conocían los trabajos
de Newton y Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales
comienzan con Isaac Newton (1 642 - 1727)
y Gottfried Withelm Leibniz (1 646 –
1 716). Dice este último “Considerando la
matemática desde el comienzo del
mundo hasta la época de Newton, lo que él
ha hecho es, con mucho, la mitad
mejor”. Muy pronto los científicos se dan
cuenta de que las ecuaciones
diferenciales son la expresión matemática
de las leyes naturales.
Isaac Newton (1 642 – 1 727) nació
el mismo año en que murió Galileo.
Los problemas que motivaron sus
descubrimientos fueron el estudio de la
dinámica del punto y del sólido
rígido. Sus primeros descubrimientos
matemáticos datan de 1 665 en que
expresó funciones en series de potencias,
y empezó a pensar en la velocidad
del cambio, o fluxión de magnitudes que
varían de manera continua tales como
áreas, longitudes, distancias,
temperaturas, etc. asociando de
manera conjunta ambos problemas, las series
infinitas y las velocidades de
cambio.
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