Actualmente se debe, en buena medida a René Descartes
(1596-1650), quien la introdujo en La Géométrie, uno de los tres apéndices con
los cuales ejemplifica su método “para bien conducir la razón y buscar la
verdad en las ciencias” que expone en su famoso tratado Discours de la Méthode,
publicado en 1637.
La
Géométrie se divide en tres partes y en ella Descartes presenta lo que hoy
conocemos como geometría analítica; además, se formaliza la teoría de
ecuaciones y se establecen muchos de los símbolos y de la terminología del
álgebra actual. Este trabajo influyó profundamente en el desarrollo del álgebra
pues con el método de Descartes las curvas podían ser estudiadas a través de
sus ecuaciones y las ecuaciones a través de sus curvas.
En palabras del propio Descartes: “Cualquier problema en
geometría puede ser reducido fácilmente a tales términos que un conocimiento de
las longitudes de ciertas líneas rectas es suficiente para su construcción”
(citado en [16, p. 78]). Al denotar las líneas por medio de símbolos
algebraicos y sujetarlas a operaciones geométricas que involucraban
construcciones con regla y compás que correspondían a las cinco operaciones
aritméticas básicas, i.e. suma, resta, multiplicación, división y extracción de
raíces cuadradas, abrió un camino en el cual el álgebra jugaba un papel muy
importante y lo llevó a introducir una nueva notación: “por a 2 , b 3 , y
expresiones similares, yo ordinariamente hago referencia a simples líneas, a
las cuales, sin embargo, llamo cuadrados, cubos, etc., de tal manera que pueda
hacer uso de los términos empleados en el álgebra” (citado en [16, p.79]).
Este
nuevo simbolismo algebraico de Descartes usa las primeras letras del alfabeto
para denotar las cantidades conocidas y las últimas letras se usan para denotar
las incógnitas; también se dispone de una notación más compacta: x, x 2 , x 3 ,
etcétera, y define los conceptos de ecuación y de raíz (de una ecuación), que
fueron aceptados casi de inmediato por los matemáticos de su tiempo.
Para Descartes era claro, y él así lo escribe, que si a
es una raíz de una ecuación polinomial, entonces x - a es un factor de la
ecuación; también establece la regla de los signos por medio de la cual podemos
estimar el máximo número de raíces reales de una ecuación de acuerdo con los
cambios de signo de los coeficientes de ésta y Descartes ilustra la regla con
varios ejemplos. Sin embargo, va mucho más allá al afirmar que “Toda ecuación
puede tener tantas raíces distintas como el número de dimensiones de la
incógnita de la ecuación” (citado en [16, p. 82]), lo que sería para nosotros
una primera aproximación al Teorema Fundamental del Álgebra.
Para ejemplificar lo
anterior, Descartes considera las raíces x = 2, x = 3 y x = 4 y muestra que al
multiplicar las ecuaciones x – 2 = 0, x – 3 = 0 y x – 4 = 0 se obtiene 9 26 24
0 3 2 x x x , una ecuación en la que la dimensión de la incógnita es 3 y tiene
tres raíces.
Si bien Descartes acepta y trabaja con raíces negativas,
a las que llama falsas, al parecer se siente más cómodo usando sólo raíces
positivas; con respecto a las raíces complejas, éstas también son aceptadas por
él pues en el libro III de La Géométrie hace una afirmación más fuerte que la
citada anteriormente, la cual lo acerca más al Teorema Fundamental del Álgebra:
Un polinomio de grado n tiene n raíces, sean estas positivas, falsas reales o
complejas. En palabras del propio Descartes: "Ni las verdaderas raíces ni
las falsas son siempre reales; algunas veces son solamente imaginarias; esto
es, mientras que siempre podemos concebir tantas raíces para cada ecuación de
la forma como ya las he asignado, no siempre existe una cantidad definida que
corresponda a cada raíz así concebida. De esta manera, si bien podemos concebir
que la ecuación 6 13 10 0 3 2 x x x tiene tres raíces, solamente existe una
raíz real, 2, mientras que las otras dos, de cualquier manera que las incrementemos,
disminuyamos, o las multipliquemos de acuerdo con las reglas ya expresadas, permanecen imaginarias"
Así, esas
raíces que no corresponden a cantidades son sólo producto de la imaginación y
Descartes las llama imaginarias; su reconocimiento de éstas va más allá de lo
aceptado por sus colegas matemáticos y, de cierta manera, legitima su uso. Otro
matemático francés a quien también se le atribuye la invención de la geometría
analítica casi simultáneamente que Descartes, aunque de manera independiente,
fue Pierre Fermat (1601-1665). Sus muchas contribuciones las podemos situar en
varias ramas de las matemáticas tales como la teoría de números, el análisis
diofantino, la probabilidad y el cálculo, entre las más significativas.
De hecho, en varias de estos campos fue pionero y dejó
una huella perdurable hasta nuestros días. A Fermat le debemos el uso de las
llamadas coordenadas cartesianas pues fue quien las introdujo en su exposición
del método de la geometría analítica, mismo que desarrolló en su escrito Ad
Locos Planos et Solidos Isagoge3 , el cual data de 1643 pues en ese año Fermat
se lo envió a Pierre de Carcavi con quien mantenía correspondencia.
Sabemos por
varias fuentes que mucho del material expuesto en esta obra es bastante familiar
para Fermat desde al menos 1629, y para 1636 ya había descubierto el principio
fundamental de la geometría analítica pues, en sus propias palabras: “Siempre
que en una ecuación final estén presentes dos cantidades desconocidas, tenemos
un lugar geométrico, uno de cuyos 3 Introducción a los lugares [geométricos]
planos y sólidos.
Extremos describe
una línea, recta o curva” Sin embargo, es hasta después de su muerte que por
primera vez se publican muchas de sus investigaciones en su “Varia Opera”, la
cual salió a la luz en 1679. En su Introducción Fermat sigue la notación de
Vieta y, por ejemplo, la ecuación de un círculo la escribe como Bq. + Aq. = Eq.
(A y B son incógnitas, E es una constante y q es por quadratum). Además,
clasifica las secciones cónicas de acuerdo a su ecuación y muestra que toda
ecuación cuadrática en dos incógnitas representa una línea recta o una cónica.
Por otra parte, podemos decir que Fermat es el fundador de la teoría moderna de
los números y obtuvo una gran cantidad de resultados en este campo.
No dio demostración alguna de
muchos de sus “teoremas”, la mayoría de los cuales han probado ser correctos
pues varios matemáticos de las generaciones posteriores a la suya se encargaron
de establecer las demostraciones. La más famosa de esas afirmaciones es sin
duda el llamado Último Teorema de Fermat que establece que no existen números
enteros x, y, z que satisfagan la ecuación n n n x y z para n 3, de la cual
Fermat afirmaba tener una demostración "verdaderamente bella". Este
teorema sólo se pudo probar hasta hace poco tiempo, en la última década del
siglo XX por Andrew Wiles, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
Las matemáticas desarrolladas para lograr esta proeza han dejado una profunda
huella en el álgebra contemporánea, en la teoría algebraica de números y en la
geometría algebraica. A propósito, se le llama “último teorema” no porque haya
sido el último enunciado por Fermat sino porque fue el último en ser
demostrado.
Mientras en la Europa continental tenían lugar todas esas
novedosas ideas, en Inglaterra, un discípulo de Oughtred, John Wallis
(1616-1703), llegaría a ser reconocido como uno de los mejores matemáticos del
continente. En 1648 estudió a Descartes y se replanteó el trabajo de éste con
respecto a la ecuación bicuadrática; Wallis le dio un nuevo enfoque al
factorizarla por medio de dos ecuaciones cuadráticas.
Para el
año de 1656 se publica su libro Operum Mathematicorum Pars Altera4 el cual
consta de dos partes siendo una de ellas el Tractatus de Sectionibus Conicis5 .
Este tratado es el primer texto sobre las cónicas desde un punto de vista
Cartesiano y aparte de éstas, se estudian curvas planas tales como la parábola
cúbica 2 3 a y x y la parábola semicúbica 2 3 ay x , la cual jugó un importante
papel en el desarrollo posterior del cálculo infinitesimal. Pero el trabajo que
más fama le trajo a Wallis fue su Aritmética Infinitorum6 , que se publicó en
1655; esta obra ejercería una influencia decisiva en el trabajo de Newton sobre
el cálculo infinitesimal.
En 1659 Wallis publica Tractatus Duo en el cual se
presentaban sus investigaciones sobre algunas curvas tales como la cicloide, la
cisoide y también sobre otras figuras geométricas. 4 Obra Matemática Selecta. 5
Tratado de Secciones Cónicas. 6 Aritmética del Infinito. APUNTES DE HISTORIA DE
LAS MATEMÁTICAS VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003 45 Otro texto de Wallis de título
Treatise of Algebra, Both Historical and Practical se publicó en 1685 y su
autor adopta una posición un tanto chauvinista pues acusa injustamente a
Descartes de que gran parte de su trabajo lo tomó de la Praxis de Harriot y trata
de hacer ver que el álgebra simbólica de Vieta ya estaba presente en la
matemática griega. Mención especial debemos hacer de Isaac Newton (1642-1727)
de quien se dice ha sido uno de los más grandes científicos de la historia de
la humanidad.
Su trabajo más conocido y admirado es Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica7 (1687) en el que establece las leyes del movimiento de
los cuerpos y las leyes de la gravitación universal sobre bases geométricas;
también hizo contribuciones fundamentales en óptica y por eso la idea que se
tiene de él es la de un físico-matemático. Sin embargo, su contribución a las
“matemáticas puras” y en particular al desarrollo del álgebra, son suficientes
para asegurarle un lugar junto a los más grandes matemáticos de todos los tiempos.
Se sabe con
certeza que el período de 1664 a 1667 fue determinante en la vida de Newton
pues muchas de sus más revolucionarias ideas las desarrolló en esa época. Antes
de esos años sus lecturas habían sido mayormente sobre filosofía aristotélica,
lo común en las universidades europeas de ese tiempo; sin embargo, aprendió muy
bien el estilo de razonamiento lógico usado por Aristóteles en su complicado
sistema filosófico. En 1664 sus lecturas fueron más allá de las que ofrecía el
currículum tradicional y se abrió a las ideas cartesianas. Si bien Newton ya
había leído a Euclides cuando estudiante, sus conocimientos de geometría no
eran particularmente profundos y, aunque parezca contradictorio, su interés por
la astrología lo llevó a estudiar trigonometría en 1663.
Al no entender varias demostraciones de su texto de
trigonometría por falta de bases geométricas firmes, vuelve de nuevo al estudio
de la geometría euclidiana aunque sus lecturas fueron bastante superficiales ya
que sólo leía los enunciados de los teoremas pues las demostraciones le
parecían muy sencillas, opinión que cambió al llegar al llamado Teorema de
Pitágoras. Esto hizo que releyera a Euclides con mayor atención de principio a
fin.
Después leyó la Clave de Oughtred y tuvo algunas dificultades para
entenderlo por completo. Cambió entonces su lectura a la Geometría de Descartes
en la edición latina que de esta obra había realizado Frans van Schooten la
cual se publicó en 1649; uno de los grandes méritos del trabajo de Schooten fue
que esta edición estaba ampliamente comentada y presentaba explicaciones muy
valiosas del trabajo de Descartes. Después de varias relecturas entendió a
Descartes mejor que a Euclides por lo que leyó de nuevo a éste último y, por
segunda vez, a Descartes. Luego vinieron las lecturas de Arithmetica
Infinitorum de Wallis; Euclides Elementorum de Isaac Barrow, quien también fue
su maestro; la Opera Mathematica de Vieta; también es muy posible que haya
leído el Tractatus Duo de Wallis.
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